Послідовність Фібоначчі - одне з найвідоміших і найдивовижніших математичних відкриттів, яке продовжує надихати науковців, інженерів, митців та дослідників по всьому світу. Вона демонструє глибокий зв'язок між математикою та природними, культурними і технологічними процесами. Ця універсальна концепція слугує яскравим прикладом того, як абстрактні математичні ідеї можуть знайти практичне застосування в різних сферах людської діяльності, підтверджуючи ідею взаємопов'язаності всіх явищ у світі. Послідовність Фібоначчі активно використовується, в тому числі і в торгівлі на фінансових ринках. У платформі MetaTrader 4 (MT4) серед вбудованих графічних інструментів можна знайти опцію "Намалювати Фібоначчі". З її допомогою трейдер може визначити потенційні рівні підтримки та опору, а також розрахувати можливі точки розвороту ціни. Отже, хто ж був цей математичний геній і що означає його послідовність?
Леонардо Пізанський, більш відомий як Фібоначчі, народився близько 1170 року в Пізі (місто-держава, нині частина Італії). Сам Леонардо ніколи не називав себе "Фібоначчі". Перша відома згадка про "Леонардо Фібоначчі" з'являється в записах Перізоло да Піза, нотаріуса Священної Римської імперії, від 1506 року. Слово "Фібоначчі" - це скорочення від двох слів "filius Bonacci", яке з'явилося на обкладинці "Книги абака", і, можливо, означало "син Боначчі". Згідно з іншою теорією, "Боначчі" можна трактувати як прізвисько, що означає "щасливий". Математик зазвичай підписувався "Боначчі", хоча іноді використовував також ім'я "Леонардо Біголло" (слово "біголло" на тосканському діалекті означало "мандрівник", а також "нероба").
Леонардо зростав у купецькій родині і з раннього дитинства познайомився з комерцією та практичними аспектами математики, що значною мірою визначило його наукові інтереси та досягнення. Його батько часто подорожував до Алжиру у торгових справах, де Леонардо вивчав математику в арабських вчителів. Пізніше Фібоначчі відвідав Єгипет, Сирію та Візантію, де ознайомився з працями античних та індійських математиків в арабському перекладі. Опираючись на ці знання, Фібоначчі написав кілька математичних трактатів, найзначніший з яких, "Книга про абак" (лат. Liber abaci), був вперше опублікований у 1202 році, а в 1228 році вийшло його нове видання.
Ця книга була присвячена викладу та популяризації десяткової арифметики і заклала основу для поширення індо-арабських чисел, включаючи поняття нуля. У цій праці Фібоначчі дослідив потенціал цих чисел, які раніше не розуміли, докорінно змінивши європейську математику. Важливо, що "Книга абака" була написана простою мовою, набагато зрозумілішою, ніж її античні та ісламські прототипи. Практичні задачі, які в ній викладені, орієнтовані насамперед на купців, сприяли її славі та популярності.
Найвідоміший внесок Фібоначчі в математику пов'язаний з числами, які носять його ім'я. Проблема розмноження кроликів, викладена в "Книзі абака", слугує класичним прикладом, який привів до формулювання знаменитої послідовності. Ця задача була запропонована для ілюстрації принципу зростання популяції кроликів. Вона формулюється так: нехай є пара новонароджених кроленят, самець і самка. Кроленята починають розмножуватися після досягнення ними місячного віку. Наприкінці кожного місяця кожна доросла пара виробляє нову пару кроленят (одного самця і одну самку). Якщо припустити, що кролики не вмирають і продовжують розмножуватися згідно з цими правилами, скільки пар кроликів буде через рік?
Суть розв'язання задачі полягає в тому, що кількість пар кроликів у кожному наступному місяці дорівнює сумі кількості пар у попередньому місяці та кількості пар, які були новонародженими у попередньому місяці. Це пов'язано з тим, що кожна доросла пара додає ще одну пару до загальної кількості. Таким чином, послідовність виглядає наступним чином: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 і так далі, де кожне число є сумою двох попередніх. Ця послідовність стала відомою як послідовність Фібоначчі.
Послідовність Фібоначчі не тільки демонструє математичну модель зростання чисельності населення, а й показує взаємодію між математикою та природними законами, тісно пов'язуючи її із Золотим перетином.
Витоки Золотого перетину сягають глибокої давнини. Деякі дослідження припускають, що стародавні єгиптяни могли знати про нього, зокрема, при будівництві пірамід, хоча докази можна інтерпретувати по-різному. Перший відомий систематичний виклад принципів золотого перетину приписують давньогрецькому математику Евкліду, який у своїй праці "Начала" описав поділ відрізка на "крайні та середні відношення". Евклід виклав математичну основу цього співвідношення, але не надавав йому того естетичного значення, яке воно має сьогодні. Серед наступних практичних прикладів цього співвідношення у Стародавній Греції - знаменитий Парфенон в Афінах (447-438 рр. до н.е.), авторство якого приписують архітекторам Іктіну та Каллікрату.
В епоху Відродження інтерес до золотого перетину зріс, оскільки художники та архітектори, такі як Леонардо да Вінчі та Ле Корбюзьє, почали активно використовувати його у своїх роботах, прагнучи досягти гармонії та досконалості форми. Леонардо да Вінчі досліджував золотий перетин і застосував його у своїх знаменитих роботах, серед яких "Мона Ліза" і "Вітрувіанська людина". Він називав золотий перетин "Божественною пропорцією", підкреслюючи його глибоке значення для мистецтва та архітектури.
Отже, що ж це за "Божественна пропорція"? Це ірраціональне число, що позначається грецькою літерою φ (фі), приблизно рівне 1.618033988749895. Ця пропорція виникає тоді, коли лінію (або інший об'єкт) можна розділити таким чином, що відношення цілого до більшої частини дорівнює відношенню більшої частини до меншої.
Зв'язок між послідовністю Фібоначчі і золотим перетином проявляється в тому, що чим далі ми просуваємося по послідовності, тим ближче співвідношення двох послідовних чисел Фібоначчі наближається до золотого перетину. Наприклад, ділення числа 21 на попереднє число в послідовності, 13, дає приблизно 1,615. Зі збільшенням чисел у послідовності це співвідношення наближається до 1,618, або "Божественної пропорції".
Цей взаємозв'язок відображений не тільки в математиці, а й у природі, мистецтві, архітектурі та інших сферах, де пропорції, близькі до золотого перетину, вважаються особливо гармонійними та естетично привабливими. Його унікальні властивості та втілення ідеї гармонії роблять золотий перетин вічним предметом вивчення та застосування.
Тісний зв'язок послідовності Фібоначчі із золотим перетином робить її унікальним інструментом для аналізу та розуміння природних форм і явищ. Числа Фібоначчі зустрічаються в багатьох аспектах різних наукових галузей, від розташування листя і квітів на рослинах до спіралей галактик. У музиці деякі композитори структурують свої твори, визначаючи довжину мелодії або гармонійних сегментів за допомогою чисел Фібоначчі.
У біології ці числа пояснюють розташування листя, гілок і навіть насіння у квітах, що допомагає максимізувати вплив сонячного світла та інших ресурсів. Наприклад, у соняшнику кількість спіралей насіння в одному та іншому напрямку часто відповідає послідовності чисел Фібоначчі. Як і в оригінальній задачі про кроликів, ця послідовність може моделювати реалістичні сценарії зростання популяції для різних біологічних видів.
У квантовій фізиці послідовності, подібні до Фібоначчі, можуть описувати певні властивості квазікристалів та інших складних структур. Розташування атомів у молекулах деяких хімічних сполук відповідає послідовності, подібній до Фібоначчі, що впливає на їхні фізичні та хімічні властивості. У програмуванні послідовність Фібоначчі широко використовується для навчання рекурсивних та ітераційних алгоритмів. Вона застосовується в деяких моделях штучного інтелекту для оптимізації процесів навчання і розпізнавання образів. Вона також використовується в теорії оптимізації та розробці ефективних алгоритмів, в тому числі для оцінки складності задач, оптимізації запитів до баз даних і підвищення продуктивності систем.
Дослідження в галузі психології показують, що люди інтуїтивно використовують принципи, подібні до послідовності Фібоначчі, коли приймають рішення в умовах невизначеності, наприклад, при оцінці ймовірностей. Цей феномен знайшов застосування в торгівлі на фінансових ринках, об'єднавши математику і ринкову інтуїцію, про що ми детально розповімо в окремій статті.
